Каадыр-оол Алексеевич родился 2 января 1950 года в п.Пестуновка (Белдир-Кежии) Улуг-Хемского района Тувинской АССР. Трудовую деятельность К. А. Бичелдей начал младшим научным сотрудником Тувинского НИИ языка, литературы и истории в 1975 году после окончания восточного факультета Монгольского государственного университета (г. Улан-Батор, МНР). В 1982 году окончил аспирантуру в Институте истории, филологии и философии СО АН СССР (г. Новосибирск) и успешно защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата филологических наук по вопросам фонетики современного тувинского языка.
В 2001 году защитил диссертацию на соискание ученой степени доктора филологических наук по теме «Теоретические проблемы фонетики современного тувинского языка» (Институт языкознания РАН, 2001 год).
За успешную научную деятельность Каадыр-оол Алексеевич избран действительным членом (академиком) Российской Академии естественных наук (РАЕН) и действительным членом (академиком) Российской академии социальных наук (РАСН), ему присвоено звание почётного профессора Тувинского государственного университета и звание почётного доктора Института истории и археологии Академии наук Монголии.
Он является автором более 140 научных статей и 23 монографий по теоретическим и практическим вопросам языкознания и учебников и учебных пособий по тувинскому языку, более 200 научно-популярных, социально-экономических и политических статей и зарубежных, центральных и региональных изданиях, преподавал теорию государственной языковой политики на кафедре русского и общего языкознания в Московском государственном университете (МГУ) им. М. В. Ломоносова в должности профессора кафедры.
К. А. Бичелдей — организатор и руководитель одного из региональных парламентов России, под его руководством в Верховном Хурале (Парламента) Республики Тыва с 1991 по 1998 год были приняты более 200 законов и законодательных актов Республики Тыва, которые стали основой демократических преобразований в Республике Тыва.
За 15 лет активной депутатской деятельности на федеральном и региональном уровнях К. А. Бичелдей руководил рабочей группой Верховного Совета РСФСР по разработке и принятию Закона РСФСР «О языках народов РСФСР» (1991) и концепция этого закона о государственной языковой политике заложена в ст. 68 Конституции РФ (1993); он является автором одного из первых региональных законов – Закона Тувинской АССР «О языках Тувинской АССР» (1990 г.). Эти законодательные акты сыграли исключительно положительную роль в формировании основ государственной языковой политики современной России на основе принципов равенства языков и приоритета языковых прав гражданина наряду с установлением статуса русского языка как государственного языка Российской Федерации на всей ее территории.
С 2012 по 2015 гг. К.А. Бичелдей был министром образования и науки Республики Тыва, заместителем Председателя Правительства Республики Тыва по информационной политике и информатизации (2015-2016 гг.).
С 2017 года Каадыр-оол Алексеевич возглавляет Национальный музей им. Алдан-Маадыр Республики Тыва. Он является инициатором и руководителем проекта Урянхайско-тувинской энциклопедии в двух томах. Данный проект в 2018 году отмечен экспертами как заслуживающий поддержки из десяти тысяч инициатив, представленных на конкурс Фонда президентских грантов. Каадыр-оол Алексеевич сумел привлечь научное сообщество республики по созданию Урянхайско-тувинской энциклопедии, включая более 210 учёных из 30 отраслей и направлений тувинской науки.
К. А. Бичелдей является наставником молодых ученых – сотрудников научных учреждений республики и Национального музея им. Алдан-Маадыр Республики Тыва. При его помощи и поддержке защитили кандидатские диссертации 9 молодых учёных республики. В настоящее время учится аспирантуре 4 сотрудника, 2 из которых в 2018 году поступили в аспирантуру.
За свою успешную и плодотворную деятельность К. А. Бичелдей награжден: Орденом Республики Тыва, Орденом «Полярная звезда» Республики Монголия, «Медалью в честь 850-летия Москвы», Почетной грамотой Совета Федерации Федерального Собрания Российской Федерации, Почетной грамотой Государственной Думы Федерального Собрания Российской Федерации, Почетной грамотой Верховного Хурала (парламента) Республики Тыва, Орденом и почетным званием РАЕН «Рыцарь науки и искусства», знаком «Отличник физической культуры и спорта Республики Тыва».